1. Установить, какие из следующих утверждений верны и какие ложны:
а) множество 1, 0, —1 замкнуто относительно сложения;
б) множество 1, 0, —1 замкнуто относительно умножения;
в) множество 1, 0, —1 замкнуто относительно вычитания;
г) множество положительных степеней числа 2, т, е. множество чисел 2¹=2,2²,2³,2⁴,2⁵,2⁶,2⁷,... , замкнуто относительно умножения;
*д) множество положительных степеней числа 2 замкнуто от¬носительно сложения.

2. Сколько делителей имеет число 30?

3. Сколько делителей имеет число 16?

4. Каково наименьшее натуральное число, имеющее в точности три делителя?

5. Найти все простые числа, заключенные между 50 и 100.

6. Доказать, что если число 3 является делителем некоторых двух чисел, то оно является также делителем их суммы и разности. Обобщая этот результат, показать, что если d является делителем двух чисел b₁ и b₂, то d является также делителем чисел b₁+b₂ и b₁-b₂.

7. а) Пусть А – множество натуральных делителей числа 18, B – множество натуральных делителей числа 24. Запишите множество А ∩ В. Укажите наибольший элемент этого множества. Как его называют?
б) Пусть А – множество натуральных чисел, кратных 4, В – множество натуральных чисел, кратных 6. Назовите несколько элементов множество А ∩ В. Укажите наименьший элемент этого множества. Как его называют?

8. Разложите на простые множители числа 111, 1 111, 11 111, 111 111, 1 111 111.

9. Как вы думаете, среди четырех последовательных натуральных чисел будет ли хотя бы одно делиться на 2? А на 3? А на 4? А на 5?

10. На затонувшей каравелле XIV века были найдены шесть мешков с золотыми монетами. В первых четырех мешках оказалось по 60, 30, 20 и 15 золотых монет. Когда подсчитали монеты в оставшихся двух, кто-то заметил, что число монет в мешках составляет некую последовательность. Приняв это к сведению, смогли бы вы сказать, сколько монет в пятом и шестом мешках?

11. Известно, что p > 3 и p — простое число, т.е. оно делится только на единицу и на себя само. Как вы думаете: а) будут ли чётными числа (p + 1) и (p – 1); б) будет ли хотя бы одно из них делиться на 3?

12. Известно, что p > 3 и p — простое число, т.е. оно делится только на единицу и на себя само. Как вы думаете, будет ли хотя бы одно из чисел (p + 1) и (p – 1) делиться на 4? А на 5?

13. Найдите все числа, при делении которых на 7 в частном получится то же число, что и в остатке.

14. Коля, Серёжа и Ваня регулярно ходили в кинотеатр. Коля бывал в нём каждый 3-й день, Серёжа — каждый 7-й, Ваня — каждый 5-й. Сегодня все ребята были в кино. Когда все трое встретятся в кинотеатре в следующий раз?

15. При делении некоторого числа m на 13 и 15 получили одинаковые частные, но первое деление было с остатком 8, а второе без остатка. Найдите число m.

16. Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все ее звенья?

17. Попробуйте разменять 25-рублёвую купюру одиннадцатью купюрами достоинством 1, 3 и 5 рублей.

18. Пусть M — произвольное 1992-значное число, делящееся на 9. Сумму цифр этого числа обозначим через A. Сумму цифр числа A обозначим через B. Сумму цифр числа B обозначим через C. Чему равно число C?

19. Делится ли число 10²⁰⁰² + 8 на 9?

20. Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 10 , равно 1000 . Найдите их сумму.

21. Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые.