Упражнения к пункту 1 - "Понятие целого числа"

1. Является ли —5 делителем 35?

2. Является ли 5 делителем —35?

3. Является ли —5 делителем —35?

4. Является ли 3 делителем —35?

5. Является ли 1 делителем —35?

6. Является ли 1 делителем 0?

7. Является ли 0 делителем 1?

8. Является ли 1 делителем 1?

9. Является ли 0 делителем 0?

10. Является ли 1 делителем всякого целого числа?

11. Является ли 0 делителем 35?

12. Проверить, что имеется двадцать пять простых чисел между 1 и 100 и двадцать одно простое число между 100 и 200.
Упражнения к пункту 2 - "Четные и нечетные числа"

Какие из следующих утверждений верны и какие ложны? (Предполагается, что областью значений символов n, m, j, ... является совокупность всех целых чисел.)

1. Каждое нечетное число может быть представлено в виде

а) 2j— 1; г) 2n2 + 3;
б) 2n +7; д) 2n2 + 2n + 1;
в) 4n+1; е) 2m —9.

2. Каждое целое число вида а) (см. упр. 1) нечетно; это же имеет место для чисел вида б), в), г), д) и е).

3. Каждое четное число может быть представлено, в виде

а) 2n+4; г) 2 — 2m;
б) 4n+2; д) n2 + 2.
в) 2m — 2;

4. Каждое целое число вида а) (см. упр. 3) четно; то же самое имеет место для чисел вида б), в), г) и д).


Упражнения к 3 - "Свойства замкнутости"

Первые три упражнения содержат отрицательные утверждения, и для их решения достаточно указать один числовой пример.)

1. Доказать, что множество нечетных чисел не замкнуто относи-тельно вычитания.
2. Доказать, что множество целых чисел вида Зn+1 не замкнуто относительно сложения.
3. Доказать, что множество целых чисел вида Зn + 2 не замкнуто относительно умножения.
4. Доказать, что сумма любых двух нечетных чисел есть число четное.

5. Доказать, что следующие множества замкнуты относительно указанных операций:

а) целые числа вида Зn+1 — относительно умножения;
б) целые числа вида 3n — относительно сложения;
в) целые числа вида 3n — относительно умножения,

6. Определить, какие из следующих множеств замкнуты относительно указанных операций (в каждом случае дать соответствующее доказательство):

а) целые числа вида 6n+ З — относительно сложения;
б) целые числа вида 6n+З — относительно умножения;
в) целые числа вида 6n — относительно сложения;
г) целые числа вида 6n+1—относительно вычитания;
д) целые числа вида 6n+1— относительно умножения;
е) целые числа вида 3n — относительно умножения;
ж) целые числа, не представимые в виде 3n, — относительно умножения.

  • Ответы