Вернемся теперь к рассмотрению рациональных чисел. Рациональные дроби были нами разделены на два типа — на представимые конечными десятичными дробями и на не представимые таким образом. Покажем, что десятичное разложение любой дроби второго типа содержит периодически повторяющиеся части; например,

Для удобства мы воспользуемся стандартным обозначением периодических десятичных дробей, а именно повторяющуюся часть мы будем заключать в круглые скобки:

и т. д.

Причину появления периодичности можно понять из процедуры перевода рациональной дроби, например 2/7, в десятичную:

В процессе деления последовательными остатками являются числа 6, 4, 5. 1, 3, 2. По достижении остатка 2 цикл завершается, и мы возвращаемся к делению 20 на 7. Все остатки меньше, чем делитель, равный 7, так что имеется всего шесть различных возможных остатков, и поэтому необходимо возникнет повторение остатков. (Остаток 0 невозможен, так как конечные десятичные разложения исключены из рассмотрения.)

В разобранном выше примере повторение обнаружилось, когда деление 20 на 7 встретилось во второй раз. При этом деление 20 на 7 было также первым шагом всего процесса деления. Повторение вовсе не обязательно возвращает нас именно к первому шагу. Рассмотрим, например, разложение в десятичную дробь числа 209/700:

Повторение здесь возникает при появлении остатка 600, который уже встречался несколькими шагами раньше. Как мы знаем, если делитель равен 700, то возможными остатками являются числа 1, 2, 3, ..., 699. У нас имеется, таким образом, уверенность в повторении остатка, хотя для достижения повторения, возможно, пришлось бы проделать весьма значительное число шагов.

Общий случай произвольной дроби а/b может быть разобран аналогичным способом. Именно при делении целого числа а на целое число b в остатке могут появиться лишь следующие числа: 1, 2, 3, ..b — 2, b—1; поэтому в процессе деления неизбежно возникает повторение остатка. С этого места начинается новый цикл; результатом деления является периодическая десятичная дробь.

Таким образом, нами доказана половина следующего предложения:

Всякое рациональное число а/b представимо как конечная или бесконечная периодическая десятичная дробь; обратно, любая конечная, а также любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляют собой некоторое рациональное число.

Вторая половина этого предложения, которую нам еще только предстоит доказать, касается двух типов десятичных дробей — конечных и бесконечных периодических. Конечные десятичные дроби рассмотрены были ранее, и мы видели, что они представляют собой рациональные числа. Обратимся теперь к бесконечным периодическим десятичным дробям. Покажем сначала, что некоторая конкретная бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой рациональное число. После разбора частного случая тот же метод будет применен к произвольной периодической десятичной дроби.

Рассмотрим бесконечную периодическую десятичную дробь:

x=28,123(456),

или, в иной записи,

x=28,123456456….

Умножим ее сначала на одно число, затем — на другое; числа, на которые мы умножаем дробь, выбираются таким образом, чтобы при вычитании одного произведения из другого бесконечная периодическая часть сократилась бы. В нашем примере в качестве таких множителей можно взять числа 106 и 103, поскольку

10⁶∙x=28123456,(456)

и

10³∙x=28123,(456),

так что разность 10⁶∙x-10³∙x равна

999000x = 28095333.

Следовательно,

и, стало быть x — число рациональное.

Обобщая использованный метод, мы покажем, что множители 10³ и 10⁶ не были «взяты с потолка», а были выбраны согласно определенному правилу. Ниже целая часть десятичной дроби (в рассмотренном выше примере равная 28) опускается, поскольку в доказательстве она не играет существенной роли. Любую бесконечную периодическую десятичную дробь (без целой части) можно записать в виде

где a₁, a₂, …, a_s обозначают s последовательных цифр неповторяющейся части, а b₁ b₂, ..., b_t суть t цифр периода (Поскольку запись a₁ a₂ ... a_s в алгебре означает произведение a₁∙a₂∙…∙a_s (а запись b₁ b₂…b_t — произведение b₁∙b₂∙…∙b_t), мы ставим над числом черту, означающую, что, например, выражение (a₁ a₂…a_s ) - надо понимать не как произведение чисел a₁, a₂, …, a_s, а иначе —как последовательность цифр a₁, a₂,…, a_s десятичной записи числа. Символы 1, 2, ..., s в обозначении a₁,a₂,…,a_s называются (нижними) индексами и имеют лишь смысл меток или ярлыков; отказавшись от использования индексов.)). В рассмотренном примере s = 3, t = 3, a₁=1, a₂=2, a₃=3; b₁ = 4, b₂=5 и b₃=6. Если умножить сначала на 10^s+t, затем на 10^s и второе произведение вычесть из первого, то мы получим

и

так что

Следовательно, число x равно отношению двух целых чисел и, стало быть, рационально, что нам и требовалось доказать.