Целое число называется четным, если оно делится на 2; в противном случае оно называется нечетным. Таким образом, четными числами являются

-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ...

и нечетными числами —

Из делимости четных чисел на два вытекает, что каждое четное число можно записать в виде 2n, где символ n обозначает произвольное целое число. Когда некоторый символ (подобно букве n в рассматриваемом нами случае) может представлять любой элемент некоторого определенного множества объектов (множества целых чисел в нашем случае), мы говорим, что областью значений этого символа является указанное множество объектов. В соответствии с этим в рассматриваемом случае мы говорим, что каждое четное число может быть записано в виде 2n, где область значений символа n совпадает с множеством целых чисел. Например, четные числа 18, 34, 12 и —62 имеют вид 2n, где n соответственно равно 9, 17, 6 и —31. Нет особой причины использовать здесь именно букву n. Вместо того чтобы говорить, что четными числами являются целые числа вида 2n, равным образом можно было бы сказать, что четные числа имеют вид 2m, или 2j или 2k.

При сложении двух четных чисел в результате получается тоже четное число. Это обстоятельство иллюстрируется следующими примерами:

12+14 = 26,         30 + 22 = 52,       46+ (-14) = 32,

(—10) + (—46) = —56.

Однако для доказательства общего утверждения о том, что множество четных чисел замкнуто относительно сложения, недостаточно набора примеров. Чтобы дать такое доказательство, обозначим одно четное число через 2n, а другое — через 2m. Складывая эти числа, можно написать

2m+2n=2(m+n)

Сумма 2m + 2n записана в виде 2(m + n). Из этого видна ее делимость на 2. Было бы недостаточно написать

2n+ 2n = 4n,

поскольку последнее выражение представляет собой сумму четного числа и того же самого числа. Иными словами, мы доказали бы, что удвоенное четное число есть опять четное число (в действительности делящееся даже на 4), в то время как нужно доказать, что сумма любых двух четных чисел есть число четное. Поэтому мы использовали обозначение 2n для одного четного числа и 2m для другого четного числа с тем, чтобы указать, что эти числа могут быть и разными.

Какое обозначение можно использовать для записи любого нечетного числа? Отметим, что при вычитании из нечетного числа получается четное число. Поэтому можно утверждать, что любое нечетное число записывается в виде 2n+1. Запись такого рода не единственна. Подобным же образом мы могли бы заметить, что при прибавлении 1 к нечетному числу получается четное число, и могли бы заключить отсюда, что любое нечетное число записывается в виде 2n—1. Аналогично можно сказать, что любое нечетное число записывается в виде 2n+3, или 2n—3, или 2k—5 и т. д.

Можно ли утверждать, что каждое нечетное число записывается в виде 2n² + 1? Подставляя в эту формулу вместо n целые числа

..—5, —4, —3, 2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .. ,

получаем следующее множество чисел:

51, 33, 19, 9, 3, 1, 3, 9, 19, 33, 51, ... .

Каждое из этих чисел нечетно, однако ими не исчерпываются все нечетные числа. Например, нечетное число 5 не может быть так записано. Таким образом, неверно, что каждое нечетное число имеет вид 2n² +1 , хотя каждое целое число вида 2n²+1 нечетно. Аналогично неверно, что каждое четное число записывается в виде 2k², где область значений символа k есть множество всех целых чисел. Например, 6 не равно 2k², какое бы целое число ни взять в качестве k. Однако каждое целое число вида 2k² четно.

Соотношение между этими утверждениями — то же самое, что и между утверждениями «все кошки — животные» и «все животные — кошки». Ясно, что первое из них верно, а второе — нет.