Следующие два предположения будут использованы в одном из последующих разделов.

1.     Множество четных чисел замкнуто относительно умножения.

2.     Множество нечетных чисел замкнуто относительно умножения.

Для доказательства утверждения 1) нужно установить, что произведение любых двух четных чисел четно. Любые два четных числа можно записать как 2m и 2n. Перемножая эти числа, получаем

(2m) (2n) = 4mn = 2 (2 mn).

Произведение делится на 2 и таким образом четно.

Для доказательства утверждения нужно установить, что произведение любых двух нечетных чисел нечетно. Представляя два нечетных числа как 2m+1 и 2n+1 и перемножая их, получаем

(2m+1)(2n+1)= 4mn + 2m + 2n+1 =

= 2 (2mn+ m+n)+1.

Число 2 (2mn+ m+n)  четно, какие бы целые числа ни подставить в его выражение вместо m и n. Следовательно, число 2 (2mn+ m+n)+1 нечетно.

Утверждения 1) и 2) можно было бы доказать, применяя теорему о единственности разложения на простые множители. Мы, однако, не будем входить в. детали по поводу этого метода.

Мы рассмотрели четные и нечетные числа, т. е. целые числа вида соответственно 2m и 2m+1. Четность и нечетность целых чисел связаны с делимостью их на 2. Подобным образом можно рассмотреть класс целых чисел, делящихся на 3, а именно:

—12, —9, —6, —3, 0, 3, 6, 9, 12, ... .

Эти числа кратны трем. Их можно также описать, как класс чисел вида 3n. Целыми числами вида Зn+1 являются числа

...,-11, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, ...,

а целыми числами вида Зn + 2 — числа

..., -10, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, 14, ... .

Три выписанные совокупности целых чисел исчерпывают все целые числа. Можно сказать, таким образом, что любое целое число имеет в точности один из видов Зn, Зn + 1, Зn + 2.

Раньше уже отмечалось, что для доказательства замкнутости множества четных чисел относительно сложения, т. е. четности суммы любых двух четных чисел, было бы недостаточно исследовать лишь несколько конкретных примеров типа 12+14 = 26. Так как имеется бесконечно много четных чисел, то мы не в состоянии проверить все суммы конкретных пар четных чисел. Поэтому здесь нам необходимо воспользоваться алгебраической символикой. Так, например, использование символа 2n, который употребляется для обозначения любого четного числа, позволило нам доказать замкнутость множества всех четных чисел относительно умножения.

Однако для доказательства отрицательного утверждения, такого, как «множество нечетных чисел не замкнуто относительно сложения», нет необходимости использовать какие-либо общие алгебраические символы типа 2m+1: подобное отрицательное утверждение может быть установлено с помощью единственного примера. Для доказательства любого предложения, утверждающего, что не все элементы некоторого множества обладают определенным свойством, достаточно, очевидно, найти хотя бы один элемент, этим свойством не обладающий. Чтобы доказать, что не все мальчики имеют карие глаза, нам достаточно указать мальчика с голубыми или черными глазами. Чтобы доказать, что не все суммы двух нечетных чисел нечетны, заметим, что 3 + 5=8; указания этого одного примера двух нечетных чисел, имеющих четную сумму, вполне достаточно для доказательства нашего общего утверждения. Однако если мы хотим доказать, что сумма любых двух нечетных чисел есть число четное, то мы не можем уже ограничиться примером 3 + 5 = 8. Даже указание большего количества примеров 7+11 = 18, 5 + 53 = 58 и т. д. не может служить корректным математическим доказательством нашего утверждения, хоть оно и делает это утверждение весьма правдоподобным.

Вот еще один пример отрицательного утверждения: «не каждое простое число нечетно». Для доказательства его достаточно отметить, что четное число 2 является простым.