1. а) Ложно: 1+1=2; б) Верно; в) Ложно: 1–(–1)=2; г) Верно; д) Ложно: 21+22=6, и 6 не есть целая степень двойки.

2. Восемь: 1,2,3,5,6,10,15,30.

3. Пять: 1,2,4,8,16.

4. 4.

5. 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

6. Указание: найти удачное обозначение для чисел, являющихся точными кратными данного числа d.

7. а) Натуральные делители 18 это 1, 3, 6, 9, 18. Натуральные делители 24 это 1, 2,3, 4, 6, 8, 12, 24. Множество А ∩ В это 1, 3, 6. Наибольший элемент 6, его называют максимальным.
б) А = 4, 8, 12, 16, 20, 24 …. В = 6, 12, 18, 24.... А ∩ В сюда входят 12, 24... .Наименьший элемент 12, его называют наименьшим общим кратным.

8. 111 = 3 * 37; 1 111 = 11 * 101; 11 111 = 41 * 271; 111 111 = 3 * 7* 11* 13* 37; 1 111 111 = 239* 4649.

9. Подсказка: Обратите внимание на остатки от деления каждого из этих чисел на 2, на 3 и т.д.
Решение: Сначала рассмотрим вопрос о делимости на 4. При делении на 4 возможны четыре разных остатка: 0, 1, 2 или 3. Если первое из чисел даёт остаток 0, то оно кратно 4. Если оно даёт остаток 1, то последнее число кратно 4. Если оно даёт остаток 2, то третье число кратно 4. И, если оно даёт остаток 3, то второе число кратно 4. О делимости на 2 и 3. Рассуждая так же, как в случае делимости на 4, придём к выводу, что в обоих случаях найдётся кратное число. Теперь о делимости на 5. Если первое число даёт при делении на 5 остаток 1, то ни одно из четырех чисел не будет кратно 5 (например, если эти числа 21, 22, 23, 24). Итак, обязательно найдутся числа, кратные 2, 3, 4, но может не найтись числа, кратного 5.
Ответ: Да. Да. Да. Не всегда.

10. Подсказка: Обратите внимание: все числа 60, 30, 20, 15 — делители числа 60.
Решение: Число монет в этих мешках — делители числа 60, записанные в порядке убывания. Так что в пятом и шестом мешках, соответственно, 12 и 10 золотых монет.
Ответ: 12 и 10 монет.

11. Подсказка: Вспомните, p — простое число, т.е. не делится ни на что, кроме единицы и самого себя.
Решение: Поскольку p — простое, то среди делящихся на 2 его не будет, а среди трех последовательных чисел p - 1, p, p + 1, одно обязательно делится на 2, но это не p. Значит, ответ задачи положительный. Для 3 задача решается аналогично, ответ положительный. Обратите внимание! Здесь мы пользуемся тем, что простое число не может делиться на 2 или 3. Будьте осторожны — это не всегда так. Есть два простых числа 2 и 3, для которых эти соображения неверны. Но в нашем условии указано, что p > 3, значит, мы можем пользоваться этим свойством.
Ответ: а) Да. б) Да.

12. Подсказка: Вспомните, p — простое число, т.е. не делится ни на что, кроме единицы и самого себя.
Решение: На 5 ни одно из чисел может не делиться (например, при p = 13). Что же касается 4, то здесь дело другое. Рассмотрим числа p - 1, p, p + 1, p + 2. Из четырех последовательных чисел одно обязательно делится на 4, но это не p (оно простое) и не p + 2 (оно нечётное). Значит, одно из чисел p + 1 или p - 1 будет делиться на 4.
Ответ: Да. Не обязательно.

13. Подсказка: Заметьте, при делении числа на 7 возможны только 7 разных остатков.
Решение: Остаток при делении на 7 не может превышать 6, таким образом, интересующие нас числа можно представить в виде 7a + a = 8a, где a = 1, 2,..., 6. Итак, вот эти числа: 8, 16, 24, 32, 40, 48.
Ответ: 8, 16, 24, 32, 40, 48.

14. Подсказка: Обратите внимание: номер дня, когда все трое пришли в кинотеатр, должен одновременно делиться на 3, на 5 и на 7.
Решение: Начнём отсчитывать дни от первого посещения кинотеатра всеми мальчиками. Номер дня, когда в кинотеатр приходит Коля, делится на 3, когда приходит Серёжа — делится на 7 и т.д. Значит, чтобы все трое пришли в кинотеатр, номер дня должен одновременно делиться на 3, на 5 и на 7. Таким образом, номер этого дня должен делиться на 105, т.е. 105, 210, 315 и т.д. Поскольку нас интересует самый первый день, то это день под номером 105 (это значит, что до встречи ребятам придётся ходить в кинотеатр больше 3х месяцев).
Ответ: На 105й день.

15. Подсказка: Как определить, на сколько остаток от деления на 15 больше, чем остаток от деления на 13, если известно, чему равно частное?
Решение: Число 13 на 2 меньше 15. Значит, при одном и том же частном n остаток от деления на 15 на 2n больше, чем остаток от деления на 13, т.е. 2n = 8. Отсюда делимое m равно 154 = 134 + 8 = 60.
Ответ: 60.

16. Решение: Пронумеруем вершины ломаной в порядке следования числами от 1 до 11.
Прямая делит плоскость на две полуплоскости (1) и (2). Пусть вершина 1 в полуплоскости (1). Соседние вершины ломаной будут расположены в разных полуплоскостях. Значит, вершина 2 - в полуплоскости (2), вершина - в полуплоскости (1), и так далее, вершина 11 - в полуплоскости (1). Тогда звено, соединяющее вершины 1 и 11, не пересекает прямую. Значит, прямая не может пересекать все звенья ломаной.
Ответ: нет, не может.

17. Решение: Если мы возьмём 11 трёхрублевых купюр, то получим 33 руб. – на 8 руб. больше, чем надо. Заменим несколько трёхрублевых купюр на однорублевые. Каждая замена уменьшает сумму на 2 руб. Следовательно, чтобы уменьшить сумму на 8 руб., надо заменить 4 трёхрублевые купюры на 4 однорублевые: 7·3 + 4·1 = 25.
Ответ: 25 = 4·1 + 7·3 = 5·1 + 5·3 + 1·5 = 6·1 + 3·3 + 2·5 = 7·1 + 1·3 + 3·5

18. Подсказка: Обратите внимание: сумма цифр числа M не может содержать больше пяти знаков и должна делиться на 9.
Решение: Сумма цифр числа M не может быть больше, чем 1992×9 = 17928, и кроме того, она должна делиться на 9, т.е. A — число, состоящее не более чем из пяти знаков (разумеется, оно может состоять из меньшего числа знаков, например, при M = 90...0 число A будет однозначным). Но если A содержит не более пяти знаков, то B не может быть больше 45 и при этом должно делиться на 9. Сумма цифр всех таких чисел равна 9. Следовательно, C = 9 при любом возможном значении M.
Ответ: 9.

19. Подсказка: Подумайте, из каких цифр состоит это число.
Решение: Да. Первая цифра этого числа — 1, последняя цифра — 8, а между ними 2001 раз повторяется цифра 0. Сумма цифр равна 9, значит, число делится на 9.
Ответ: Да.

20. Решение: Так как 1000 =53· 23 , то каждое из чисел в своем разложении на простые множители может содержать только двойки и пятёрки. Заметим, что оба этих множителя не могут присутствовать в разложении одного числа, иначе оно будет делиться на 10 . Следовательно, одно из чисел равно 53 , а другое — 23 . Тогда их сумма равна: 53 + 23 = 125 + 8 = 133.
Ответ: 133.

21. Примечание: простых чисел бесконечно много.
Решение: Расставим на рёбрах многогранника различные простые числа. Теперь в вершины запишем произведения чисел, стоящих на рёбрах, которые сходятся в этой вершине. Расставленные числа удовлетворяют требованиям задачи.